• Matematiqués

    El lenguaje de las Matemáticas y sus aplicaciones en la ciencia moderna

    Introducción

    A lo largo de estas líneas se pretende hacer un repaso sobre algunas de las conferencias que fueron ofrecidas a los alumnos de segundo curso de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Minas en la asignatura Programación y Métodos Numéricos.
    En primer lugar se hablará de las matemáticas y su lenguaje en general en relación con la conferencia dada por Manuel Toaria para, a continuación, desarrollar una serie de propuestas para la enseñanza de las mismas basada en la conferencia de Agustín de la Villa.

    Las matemáticas y su lenguaje

    Las matemáticas como lenguaje

    Si pensamos en el término matemáticas quizás nos venga a la mente un conjunto de operaciones aritméticas que, sin duda, a más de alguno ha provocado un verdadero quebradero de cabeza.
    Aunque bien es cierto que las matemáticas se puede emplear para realizar un sinfín de relaciones entre magnitudes que representamos con los números, lo más asombroso y lo que diferencia a las matemáticas de  otras ciencias es que en si constituyen y poseen un lenguaje propio, un lenguaje universal, un lenguaje que a diferencia de todos los demás lenguajes del mundo es claro, preciso, lógico y exacto, de ahí el término ciencias exactas.
    El símbolo 1 siempre es 1 y su significado siempre es el mismo la unidad, bien es cierto que en función del sistema ya sea sexagesimal, binario o decimal entre otros podemos tener que un mismo significante o símbolo, hace referencia a dos magnitudes o significados diferentes pero si pasamos por alto este detalle simplemente definiendo el sistema de referencia estarán de acuerdo conmigo en que en el sistema decimal siete, tiene significado por si solo sin ser necesario ninguna otra aclaración, en cambio, si cambiamos de lenguaje a, por ejemplo, nuestro lenguaje cotidiano, puede surgir un verdadero problema como el que se explica a continuación:
    Les invito, pues, a que hagan el siguiente experimento mental: piensen en el término coche, cierren los ojos y visualícenlo, la imagen que ahora está en su mente ha sido producto de su memoria, de su imaginación o de un conjunto de ambas. Ahora bien, hagan lo siguiente, piensen en un número, por ejemplo el número 1  o el 3 si lo prefieren ¿Qué es lo que ven? Puede ser que su mente intente buscar algo con lo que acompañar a ese uno quizás sea 1 niño o 1 libro o en el caso del tres quizás “tres tristes tigres” por aquello del trabalenguas pero podrán darse cuenta que el significado del símbolo 1 o 3 no tiene sentido sin la correlación directa que hay entre la realidad y la mente.
    Es decir, las matemáticas nos ayudan a comprender, dar sentido y comunicar hechos y evidencias de nuestra propia realidad y es de ahí, de dónde podemos constituir que las matemáticas son en sí mismas un lenguaje que, a partir de ahora, pasaremos a llamar matematiqués en honor a nuestro conferenciante Manuel Toaria.

    Las matemáticas como Ciencia Exacta

    Uno de los hechos más importantes de las matemáticas es el siguiente: mientras que todas las ciencias han nacido para hacer referencia al mundo en el que vivimos e intentar reproducir, plasmar o comprender la, a veces compleja, realidad que nos rodea, las matemáticas pueden ser consideradas como la herramienta universal para realizar esta serie de tareas.
    Las Ciencias Exactas, en sus orígenes, pudieron surgir de la realidad que nos rodea y la necesidad de cuantificarla, pero se han desarrollado gracias a una abstracción mental basándose en la razón inherente de nuestra propia especie y sin necesitar ser comprobadas en un plano tangible puesto que la lógica que hay detrás de las mismas las hace irrefutables.
    Además, en algunas ocasiones, esta comprobación sería inútil pues hacen referencia a hechos que solo pueden ser concebidos en nuestra propia mente, véase por ejemplo el número imaginario “i” o los conceptos de “infinito”  entre otros.
    A pesar de ello la potencia de las matemáticas es, y nunca mejor dicho, infinita y su utilidad reside  en que son la única manera de resolver, tanto problemas cotidianos como los más elevados problemas de cálculo diferencial pasando por la resolución de problemas de física, estadística o incluso biológicos y todo esto, a partir de unas leyes que son tan básicas que hasta cualquier estudiante de secundaria podría comprender, como dijo en su día René Descartes “La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles”
    Es ahí donde reside la verdadera magia de las matemáticas y de su lenguaje, ellas son el puente entre el caos y el orden, entre la realidad y la idealidad  y son, sin lugar a dudas, la única herramienta de la que disponemos para resolver estos problemas.
    Entendamos el mundo de este modo:
    En el mundo existe una realidad que podemos modelar mediante una serie de razonamientos, los cuales, en algunos casos, pueden estar recogidos en las diversas ciencias. Imaginen ahora que queremos predecir un hecho, si somos empiristas, podríamos obsevar e intentar predecir lo que sucederá a partir de una ley, imagínense que en este caso queremos saber cuánto nos crece  el pelo al día.
    El problema podría resolverse creando una teoría o una ley y deduciendo a partir de mediciones una ley de crecimiento.
    Ahora bien dispongamos de la siguiente información empírica, el pelo crece a una velocidad de  2 cm/mes, sea esta nuestra ley. Si ahora empleando las matemáticas como herramientas podemos deducir que en 2 meses el pelo nos habrá crecido 4 cm.
    Esto puede ser verdad o puede ser mentira, la única forma que tenemos es comprobándolo al cabo de dos meses, ahora bien, lo que sí es seguro, es que si en nuestro razonamiento hay algún fallo y finalmente no se cumple será un fallo debido a nuestra ley y no a las matemáticas.
    Sírvase esto que resulta evidente para comprender el siguiente esquema:
    De este esquema, que a priori, puede parecer lógico podemos deducir que la herramienta necesaria para conectar la realidad con la idealidad plasmada en las teorías científicas son las matemáticas, siendo estas, el único modo de llegar a comprender y operar en el mundo que vivimos.
    “Entendamos pues las matemáticas, ya no solo como una ciencia, sino como una herramienta indispensable en nuestras vidas”

    Propuesta para la enseñanza de las matemáticas

    Como hemos ido deduciendo, las matemáticas son algo indispensable para la vida de cualquier persona, una herramienta muy útil para la mayoría de nosotros, por no decir todos y que debe ser bien enseñada para que su aprendizaje se haga de forma correcta.
    Como aclaración, cuando nos referimos a aprendizaje de forma correcta, nos referimos a un aprendizaje razonado y no memorizado y por tanto, un aprendizaje que dure en el tiempo y sirva de base para comprender hechos que puedan guardad una relación con lo estudiado.
    Imaginemos por ejemplo que en 2º de la ESO inculcamos a un alumno conocimientos sobre la velocidad y su significado físico, si el concepto está bien aprendido, cuando este alumno llegue a 1º de Bachillerato y estudie las derivadas,  si se le explican que las derivadas estudian la velocidad de variación de una variable respecto a otra o, expresado de otra forma, la velocidad con la que cambia una magnitud respecto a otra y se le razona en un sistema de ejes coordenadas que si la pendiente es grande se tendrá mayor cambio que si es pequeña, este alumno será más capaz, y por lo tanto, más competente que otro, que a pesar de saber derivar a la perfección por haber adquirido esta capacidad de la memorización por repetición, no es capaz de entender para que sirve todo aquello que estudia.
    Es por esto por lo que hay que fomentar el deseo de conocer las cosas y su utilidad, mucho antes que saber en sí es mejor conocer.
    Piensen en esto, muchos de los conocimientos inculcados en la universidad o en el colegio se pierden u olvidan conforme el paso de los años por, entre otras cosas, su desuso, ahora bien, aunque estén olvidados, en nuestra mente hay constancia de que existen y eso es lo que realmente nos da la capacidad de ser productivos y competentes en nuestro trabajo. Quizás, muchos han olvidado lo que es un predicado o un complemento régimen, ahora bien, aunque se haya olvidado, si usted aprendió eso de forma razonada, si busca información y dedica un mínimo interés a refrescar el conocimiento, seguramente,  en poco más de cinco minutos,  será capaz de resolver con éxito cualquier problema de esta materia que se le proponga.
    Esta es la verdadera clave de la enseñanza, se debe enseñar a razonar, pensar y comprender; entender qué y por qué se estudia lo que se estudia y centrar al alumno en lo verdaderamente útil.
    Seguramente, Brook Taylor cuando trabajo en sus famosos desarrollos en serie dedicó un tiempo y una dedicación considerable, los frutos de su trabajo se ofrecen al alumno de la siguiente forma:
    La pregunta sería ahora, ¿qué es realmente importante?, comprender que es una forma de pasar cualquier función infinitamente derivable a un polinomio y de ahí deducir sus múltiples utilidades o por el contrario dedicar tiempo a su estudio y demostración.
    Pues la respuesta en este caso podría ser la más diplomática de cuantas respuestas pueda haber: Depende
    Depende de si queremos dar competencias al alumno para que sea capaz de resolver problemas mediante su aplicación o si, por el contrario, queremos que el alumno sea capaz de desarrollar y entender desarrollos similares.
    Es decir, estudiar la procedencia del desarrollo en serie de Taylor puede tener interés en una carrera de matemáticas cuando queremos dar capacidad (competencias) al alumno para trabajar en ciertas teorías y entornos, metafóricamente hablando, similares, por el contrario y si lo que se pretende es que el alumno emplee este teorema para resolver algún problema en el que sea necesario su uso, por ejemplo, cuando se estudia derivación numérica, podemos afirmar que la demostración sería accesoria y poco productiva para el alumno.
    Orientémonos ahora hacia las necesidades para un correcto aprendizaje bajo estas premisas, la primera de ellas es que para que el aprendizaje de  cualquier materia sea completo y eficaz debe resultar interesante o útil para el alumno, en segundo lugar, para que este aprendizaje siga suscitando interés a lo largo del tiempo debe ser sencillo y lógico.
    Por ejemplo cuando somos niños y nos quemamos con algo que está caliente aprendemos rápidamente que no debemos tocarlo porque nos duele, podemos observar que es algo útil para la vida, sencillo de comprender y lógico una simple implicación, si está caliente -> te puedes quemar.
    Ahora bien, conforme avanzamos en los temarios a veces resulta complicado compaginar el interés de los alumnos con los temarios propuestos además de que, como es lógico, cada uno de nosotros, como seres individuales que somos, tenemos diferentes intereses.
    Es aquí donde hay que llegar a un compromiso y sobre todo, desde muy pequeños, hay que fomentar en los niños la curiosidad por el mundo que les rodea, recuerden esto como un consejo personal, cada vez que un niño les pregunte ¿por qué? motívenle en cuanto les sea posible para que siga teniendo esa curiosidad, les harán un grato favor.
    Volviendo al tema que nos ocupa, la enseñanza de las matemáticas, lo ideal para una correcta enseñanza de las matemáticas sería plantear temarios basados en las propuestas antes mencionadas.
    Se tiende a creer que cuanto más se complica un ejercicio y más difícil resulta una asignatura, más se va a aprender, debemos cambiar esta mentalidad, qué sentido tiene saber Álgebra o Cálculo cuando no somos capaces de comprender para que se utilizan o en que nos pueden servir, en lugar de concentrarnos en grandes temarios o problemas y demostraciones complejas, concentrémonos en que los alumnos aprendan lo necesario para poder ser individuos competentes en sus respectivas vidas y oficios y dejemos a un lado todo aquello que pueda resultar accesorio.
    Podemos entonces, tras estos razonamientos, postular que en el tema de enseñanza, se debe primar la calidad antes que la cantidad.
    Enséñese pues a razonar y a comprender antes que a memorizar; a apreciar la belleza y la sencillez de las mismas y no su complejidad, enséñese a aprender y no a saber, recuérdese, no es más competente el que más sabe sino el que mayor capacidad tiene de aprender, adaptarse y emplear todos sus conocimientos, aunque sean limitados, para resolver los problemas que se le puedan plantear en la vida.
    Como dijo Paul Arden “It’s not how good you are, is how good you want to be” que viene a significar, “No es cuestión de ser bueno sino de querer serlo” que en nuestro caso podríamos aplicar de la siguiente forma, “No es una cuestión de saber sino de querer saber”
    Carlos Pascual Adell
    2ºETSI Minas

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